最近要在曲线标架下做点计算。

(相关资料图)

张量运算太复杂了，手算是不可能手算的。一眼望去，MMA著名的张量计算包xAct也好复杂。帖子[1]提到了OGRe包，看起来语法还比较容易；包的文档写的也比较清楚。于是做一些测试，感受一下OGRe计算张量时语法的特点。

OGRe包的安装

利用命令找到默认路径，将OGRe.m[2，3]文件复制到对应文件夹中

导入OGRe包

查看包中的函数

文档介绍这些函数时分为几个章节：

Creating and displaying tensor objects（主要介绍坐标系、度量、张量的定义等）

Operations on single tensors（介绍张量的输出、在不同标架下转换、化简等）

Calculations with tensors（介绍利用TCalc进行张量运算等）

Derivatives and curvature tensors（介绍曲线标架下的张量运算等）

Curves and geodesics（介绍测地线等）

查看包中的默认参数

一般通过TSet开头的指令更改这些默认参数。

测试1：斜坐标系下的度量

定义笛卡尔系和斜坐标系，在笛卡尔系中定义度量张量。

OGRe中可以自动处理张量在不同坐标系下的变换，只要定义了坐标系的转换关系，可以获得度量张量在任意坐标系下的表示。

定义笛卡尔坐标系，斜坐标系以及两者的变换关系

必须定义坐标系对应的双射。如果只定义"Cartesian" -> "Oblique"，在笛卡尔系下定义的张量可以转换到斜坐标系下，而在斜坐标系下定义的张量不能转换到笛卡尔坐标系中表示。

查看Jacobian矩阵

定义度量（张量）

查看度量张量的默认信息

张量的主要信息有：

ID（当允许重写权限关闭时，只有ID为Result的张量可以被重写）

Symbol（ID是唯一的，而Symbol不是唯一的，也可以没有）

Default Coordinates

Default Indices（-1代表协变分量，1代表逆变分量）

查看度量张量

我们在笛卡尔系下定义了度量张量，然而也可以输出斜坐标系下的度量。同时，不仅可以查看度量的协变分量，还可以查看度量的逆变分量。我们还能通过度量张量看到协、逆变基的正交关系（这么理解也没啥大问题吧）。

上下标中的希腊字母来自于默认的IndexLetters，对于计算没有影响。

测试2：张量的计算

主要考察张量计算时，指标的顺序，指标的上下标类型。

生成张量的指标顺序应该没什么问题，上下标类型最好还是通过TInfo查看。最好用明确的定义进行运算，避免运算出错（见测试4）。

定义张量（向量）

查看张量

张量并积

指标顺序与指标出现顺序相同（可以利用左式Result指定指标顺序），指标的协变、逆变属性与原指标相同。

张量缩并

对结果简化

进行缩并运算时，不需要指定分量是协变分量还是逆变分量。OGRe会自动将哑标转换为协变、逆变对进行运算，保证计算结果满足张量性质。

张量加法

当张量的协变、逆变形式相同时，张量加法得到的分量与原来的协变、逆变形式相同；当协变、逆变形式不同时，加法得到结果与指标出现的前后顺序无关。

测试3：Eddington张量

对于重要的置换张量，考察OGRe的运算。

定义坐标系和度量

定义Eddington张量

查看Eddington张量

测试4：梯度、散度和拉普拉斯量

进一步考察OGRe对重要运算的处理。

第一个计算结果是错误的（错误是由于度量张量+克式符没有定义在球坐标系中导致的，说好的自动转换呢，超级超级巨大巨大的Bug）。

OGRe与MMA内置函数都能够计算正确的拉普拉斯量，但是得到的梯度分量是不同的，这是由于其选择的局部标架是不同的。OGRe给出的张量指标为{-1,1}（和想象的好像不太一样，所以说确认一下还是比较重要的）。

对于标架不同导致的计算结果的差异，我们自己算一下。下面前缀n的对应MMA内置函数的结果，没有前缀的代表OGRe的结果。

忽略指标的顺序（求导时MMA求导指标加在右边，OGRe求导指标加在左边），上述结果与需要对照的结果是一致的。

OGRe需要显式的定义坐标全局的映射，而不能自己定义局部的映射，这可能是OGRe包的缺点之一。

测试5：测地线

由度量计算拉格朗日量，进一步计算测地方程

定义坐标系和度量

计算测地线方程

对比MMA自带变分包计算的结果

将测地线方程改写，两者事实上是相同的

算例

在这个例子中，用OGRe给出的式子计算测地线能得到比较好的结果。MMA变分包给出的方程，方程的性质在部分情况下并不是太好。

球面上的测地线

方程不是特别好解，没有对解法进行优化。索性我们知道答案，直接带进去就好了。故技重施，把方程中的曲线参数消掉。

方程的一般解

OGRe的确给出了正确的测地方程。

在定义球面坐标系的度量时，想偷个懒，定义球面在三维笛卡尔系中的嵌入，OGRe竟然不支持。定义映射的流形必须维度一致。

1.https://zhuanlan.zhihu.com/p/570817834

2.https://github.com/bshoshany/OGRe

3.https://joss.theoj.org/papers/10.21105/joss.03416